同态加密技术及其在机器学习中的应用详解

什么是同态加密

同态加密（HE，homomorphic encryption）是密码学里一种特殊的加密模式，同态加密使我们可以将加密后的密文发给任意的第三方进行计算，并且在计算前不需要解密，即：在密文上进行计算。虽然同态加密的概念最早出现于 30 年前，但是第一个支持在密文上进行任意运算的 全同态加密 框架出现较晚，在 2009 年由 Craig Gentry 提出。

同态加密的数学定义为 [1]：

其中 E 为加密算法，M 是所有可能信息的集合。如果加密算法 E 满足公式 (1)，那么我们称 E 在★运算上符合同态加密的性质。目前的同态加密算法，主要支持两种运算上的同态：加法和乘法。

需要注意的是，以上公式 (1) 只是为了让我们更加清晰地理解同态加密的性质，实际中的同态加密算法可能会有一些不同。比如 Paillier 算法对加法同态，那么根据公式 (1)，其密文的求和应该等于求和后的密文，但实际情况是密文的乘积等于求和后的密文，所以我们一般只要求得到的密文结果和我们预期的计算相同，但是对密文上的计算不作具体要求（一般由加密算法决定）。

2 同态加密的组成与分类

同态加密算法一般包含以下四个部分：

KeyGen：密钥生成算法，产生公钥和私钥
Encryption：加密算法
Decryption：解密算法
Homomorphic Property：同态加密计算部分

其中前三个部分在很多加密算法中都可以看到，第四部分则是同态加密算法的核心，指导密文下的运算。

为了更好地理解与运用同态加密算法，我们按照将同态加密算法支持的运算类型和数量，将其分成 3 类：部分同态加密、层次同态加密、和全同态加密 [1]。

部分同态加密（Partial HE，简称 PHE）指同态加密算法只对加法或乘法（其中一种）有同态的性质。 例如：RSA 加密是最早应用的公钥加密算法框架，同时 RSA 算法也是一种 PHE 算法，其对乘法有同态的性质。PHE 的研究成果出现比较早，并且加法同态加密算法（Additive HE）比乘法同态加密算法要多一些。PHE 的优点是原理简单、易实现，缺点是仅支持一种运算（加法或乘法）。
层次同态加密算法（LHE，Leveled HE 或 SWHE ，SomeWhat HE）一般支持有限次数的加法和乘法运算。 层次同态加密的研究主要分为两个阶段，第一个阶段是在 2009 年 Gentry 提出第一个 FHE 框架以前，比较著名的例子有：BGN 算法、姚氏混淆电路等；第二个阶段在 Gentry FHE 框架之后，主要针对 FHE 效率低的问题。LHE 的优点是同时支持加法和乘法，并且因为出现时间比 PHE 晚，所以技术更加成熟、一般效率比 FHE 要高很多、和 PHE 效率接近或高于 PHE，缺点是支持的计算次数有限。
全同态加密算法（Fully HE，简称 FHE）支持在密文上进行无限次数的、任意类型的计算。从使用的技术上分，FHE 有以下类别：基于理想格的 FHE 方案、基于 LWE/RLWE 的 FHE 方案等等。FHE 的优点是支持的算子多并且运算次数没有限制，缺点是效率很低，目前还无法支撑大规模的计算。

图 1 三种类型同态加密的研究时间线 [1]

图 1 展示了三类同态加密算法的研究时间线，同态加密的概念在 1976 年提出，随后 PHE 的研究成果逐渐丰富；在 Gentry 的 FHE 框架前，LHE 研究占主导；2009 年后，研究热点集中在 FHE。

3 同态加密在机器学习中的应用3.1 联邦学习（PHE）

联邦学习是一种隐私保护机器学习方法，其主要思想为：构建一个隐私保护机器学习系统，使得拥有数据的多方能够联合训练一个或多个模型，并且任意一方的数据不会泄露给其他参与者。这能在保证隐私数据不泄露的情况下，提升参与者们本地模型的任务表现，打破数据孤岛 [2]。

图 2 联邦学习流程示例

在联邦学习中，多方联合训练模型一般需要交换中间结果，如果直接发送明文的结果可能会有隐私泄露风险。在这种场景下，同态加密就可以发挥很重要的作用。多方直接将中间结果用同态加密算法进行加密，然后发送给第三方进行聚合，再将聚合的结果返回给所有参与者，不仅保证了中间结果没有泄露，还完成了训练任务（第三方可以通过优化系统设计去除）。

在联邦学习中，因为只需要对中间结果或模型进行聚合，一般使用的同态加密算法为 PHE（多见为加法同态加密算法），例如在 FATE 中使用的 Paillier 即为加法同态加密算法。为了更好地展示同态加密在联邦学习中的应用，我们在此展示一个同态加密在联邦学习推荐系统中的应用 [3]。

图 3 联邦矩阵分解推荐系统流程

在传统的推荐系统中，用户需要上传浏览记录、评价信息来实现个性化推荐，但是这些信息均属于个人的隐私数据，直接上传会带来很大的安全隐患。在联邦推荐系统中，每个用户将数据保存在本地，只上传特定的模型梯度。这样虽然避免了隐私数据的直接泄露，但是还是透露了梯度信息给云服务器。同时我们发现，从数学上可以证明，使用连续两次更新的梯度即可反推出用户的评分信息。这种情况下，就必须使用同态加密对用户上传的梯度进行保护，即用户在上传梯度前使用加法同态加密算法对梯度信息进行加密，然后云服务器将所有用户的密文梯度进行聚合（相加），再将更新后的模型返还给各个用户解密，完成训练更新。

3.2 密态机器学习（LHE and FHE）

除了联邦学习外，同态加密另一个比较重要的应用领域是密态计算。和联邦学习不同的是，密态计算不需要多方参与，但需要的计算比联邦学习更加复杂（算子多、计算量大）。密态计算中使用的同态加密算法多为 LHE 和 FHE。其实全同态加密研究的初衷，就是为了实现安全的云计算，即对云算力有需求的用户可以将本地的数据全部加密，然后上传到云端，然后云端的服务器即可按照用户指令完成计算，整个过程用户的数据不会泄露给云端，从而完成“绝对安全”的云计算服务。

但是由于目前 FHE 效率比较低，所以使用全同态加密进行云计算远远没有达到应用的级别。机器学习在云计算中有着广阔的市场，而机器学习有训练和推理两种需求，训练过程一般数据较多、计算量很大，而推理则数据量相对较小、计算量也小，所以目前研究主要集中在密态下的机器学习推理，并且目前已经有速度比较快的方案 [4]；而密态下的机器学习训练研究稀少，是一个比较难解决的问题。

4 部分开源同态加密库的效率比较

目前 GitHub 中有很多的开源 HE 框架，在这里我们选择两个进行测试比较，一个是 python-paillier，支持加法同态；一个是 SEAL-CKKS，属于 LHE 算法，支持有限次数的加法和乘法。

表 1: Paillier 和 CKKS 的效率对比（ms）

表 1 展示了 Paillier 和 CKKS 的效率对比，时间单位为毫秒，测试机器为 Intel(R) Xeon(R) E5-2630 24-core 2.6GHz CPU，63GB RAM，表格 C+P 中的 C 代表密文、P 代表明文。表格中 CKKS 的 key 含义为 polynomial modulus degree。

从结果中可以看出，paillier 在 key size 逐渐增大时，耗时迅速增长（速度超过线性），paillier 一般使用最少 2048 位密钥来保证安全， 2048 位下的 paillier 运算效率高于 CKKS。值得一提的是，SEAL-CKKS 支持 SIMD 操作，所以在机器学习的训练、推理中，可以按照 batch size 维度对一批数据进行打包、加密，使得运算效率线性提升。

总结： 在不能够使用 SIMD 操作时（部分机器学习场景可能没有 batch 的情况，比如矩阵分解），使用 key size 比较小的 paillier 效率更高；在能够使用 SIMD 操作时（例如大部分场景下的机器学习模型训练、推理），SEAL-CKKS 效率显著高于 paillier。

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