诺奖得主五因子定价模型的国际检验, 做金融的得学起来了！

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正文关于下方文字内容，作者：魏泽新，中国人民大学财政金融学院，通信邮箱：weizexin@ruc.edu.cn
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Average stock returns for North America, Europe, and Asia Pacific increase with the book-to-market ratio (B/M) and profitability and are negatively related to investment. For Japan, the relation between average returns and B/M is strong, but average returns show little relation to profitability or investment. A five-factor model that adds profitability and investment factors to the three-factor model of Fama and French (1993) largely absorbs the patterns in average returns. As in Fama and French, 2015, Fama and French, 2016, the model's prime problem is failure to capture fully the low average returns of small stocks whose returns behave like those of low profitability firms that invest
北美、欧洲和亚太地区的股票平均收益率随账面市值比 (B/M)和盈利能力 (OP)的增加而增加，并且与投资水平 (Inv)负相关。对于日本而言，平均回报率与B/M之间的关系很强，但平均回报率与盈利能力或投资水平之间的关系很小。在Fama & French (1993)的三因素模型中增加了获利能力和投资因素的五因子模型在很大程度上解释了平均收益率的变动规律。与Fama & French (2015，2016)一样，该模型的主要问题是无法完全捕捉那些积极投资的低利润小公司股票的低平均收益率。
Average stock returns for North America, Europe, and Asia Pacific increase with the book- to-market ratio (B/M) and profitability and are negatively related to investment. For Japan, the relation between average returns and B/M is strong, but average returns show little relation to profitability or investment. A five-factor model that adds profitability and in- vestment factors to the three-factor model of Fama and French (1993) largely absorbs the patterns in average returns. As in Fama and French (2015, 2016), the model’s prime problem is failure to capture fully the low average returns of small stocks whose returns behave like those of low profitability firms that invest aggressively.
一、简介
Fama & French (FF) (2015)受股利折现模型的启发，对五因子资产定价模型进行了检验，该模型在Fama & French (1993)三因子模型的基础上增加了盈利能力和投资水平两个因子。在这里作者研究了国际市场，主要是在Fama & French (2012)中检验的四个地区——北美 (NA)、欧洲、日本和亚太地区 (AP)。目标是对美国的结果 (Fama & French，2012)进行样本外检验。
本文的检验使用了五因子时间序列回归的变体，模型如下：

Chan, Hamao & Lakonishok (1991)，Fama & French (1998, 2012)，Griffin (2002)，Hou, Karolyi & Kho (2011)等人确定了国际股票收益率与公司规模和账面市值比的关系。本文也不是第一个研究国际股票回报率如何与获利能力和投资相关的论文。Titman, Wei & Xie (2013)指出，在许多市场中，高投资往往伴随着较低的平均回报率。Sun, Wei & Xie (2013)以及Watanabe, Yu, Yao & Yu (2013)证实了这一结果，并表明更高的获利能力与更高的股票收益率相关。这些论文没有详细研究各个公司规模的投资组合平均收益率如何随获利能力和投资水平变化，并且它们也没有尝试在资产定价模型中捕捉平均收益率中的这些因素。
本文的资产定价模型检测将探究五因子模型和该模型的变体是否解释了国际股票收益率与公司规模、账面市值比、盈利能力、投资水平的关系。因此，与FF (2015)中一样，股票将被合理排序以构造模型等式右边的各变量。
本文也检验了模型的本地版本，即要解释的收益率和因子数据来自同一地区。FF (1993)的三因子模型的本地版本在很大程度上忽略了股票平均回报率与获利能力和投资水平之间的关系，该模型在等式中仅包括Mkt、SMB和HML三个变量。检验中原假设被拒绝，五因子模型的本地版本解释了平均收益率与盈利能力和投资水平的关系。我们还提供了有关五因子模型全球版本的证据。
我们构造的投资组合揭示了有关国际市场股票回报率的新结果。其中最有趣的是，欧洲和亚太地区小公司股票的平均回报率较低，这些股票的因子负载和那些进行大量投资的低利润公司很像。例如，当我们对获利能力和投资进行排序后，对于具有低盈利能力和高投资的欧洲小公司股票投资组合，1990-2015年的平均超额收益率为-0.65％，而亚太地区为-0.71％。北美地区投资组合的平均超额收益率较低，但不太极端，每月为0.12％。在对美国收益率的检验中，FF (2015)发现，尽管盈利能力很低，但小公司股票投资组合的平均收益通常比五因子模型的预测值低得多，这些公司一般利润率低却进行了大量投资。尽管在欧洲和亚太地区，这些股票的平均回报率较低，但在某种程度上，五因子模型可以捕获它们。
本文第2节对模型估计中使用的投资组合和因子进行描述。第3节测试了四个不同地区的资产定价是否符合模型的全球版本。本文的其余部分集中在对模型的检验，在这些检验中，本文使用区域因子来捕获同一区域的投资组合回报率变动。第4节和第5节介绍了区域因子和投资组合收益率的描述统计。第6-8节是对资产定价模型的检验。第6节测试了区域因素是否是多余的。第7节介绍了由回归截距构造的统计量。第8节详细介绍了在FF (1993)三因素模型中增加RMW和CMA所产生的截距改进。
二、数据与变量
本文的国际股票收益率和会计数据主要来自Bloomberg、Datastream和Worldscope等数据库。样本期为1990年7月至2015年12月，样本的选择受限于数据的可得性和对研究的市场中大小公司股票的广泛覆盖。为了增加检验的效果，本文在回归中使用了分散化的投资组合。分散化的投资组合提高了回归拟合的效果，从而提高了资产定价模型检验截距的精确度。与FF (2012)一样，为了构造分散化的投资组合，本文将23个发达市场合并为四个地区：(1)北美（美国和加拿大）；(2)日本；(3)亚太地区（澳大利亚、新西兰、香港和新加坡）；(4)欧洲（奥地利、比利时、丹麦、芬兰、法国、德国、希腊、爱尔兰、意大利、荷兰、挪威、葡萄牙、西班牙、瑞典、瑞士和英国）。本文还研究了结合这四个区域的投资组合。
在区域的选取方面，本文认为假设区域内的国家具有一致性是合理的，例如我们有理由认为美国和加拿大交易的商品和证券非常相似。欧洲地区本文也主要选取了欧盟国家，对于非欧盟国家，他们应该也参与了较多的欧盟市场条约。对于亚太地区的整体性，作者认为是存疑的，但该地区的股票市场市值占比小，仅为4%，其他三个地区的占比分别为北美48%，欧洲30%，日本18%。
在每一个地区，作者将股票按照公司大小与账面市值比、盈利能力、投资水平的组合进行排序。对于美国的股票，本文使用纽约证券交易所的间断点来对公司规模和其他变量进行分段，以避免数量众多但规模较小的美国证券交易所和纳斯达克股票主导排序。出于同样的原因，账面市值比、盈利能力、投资水平的间断点也是基于大公司股票，而公司规模的间断点也是按照公司市值的百分比，以避免在小公司股票上有过高的权重。
为了构造模型 (1) 式右边的变量，本文对公司规模和账面市值比、盈利能力、投资分别进行双重排序，每组变量构造23共6个投资组合，其中公司规模划分为两组，大公司的股票是公司市值大小处于前10%的股票，小公司股票是公司市值处于后10%的股票。对于账面市值比、盈利能力和投资水平三个变量，在23的投资组合中，间断点为30%和70%。以公司规模和账面市值比构造的投资组合为例，公司规模的划分如前面所述，在给定一组公司规模的条件下，组内的股票按照账面市值比的大小分成3组，分别为前30%、中间40%和后30%，从而形成2*3共6个投资组合，并按照价值加权的方式计算出每个投资组合的月度收益率。为了构造出HML变量，分别计算出大公司股票和小公司股票组内高账面市值比投资组

HML、RMW、CMA三个变量一般是有相关性的，即高账面市值比的股票一般有较低的盈利能力和投资水平，而较低的账面市值比公司则倾向于有较高的盈利能力和激进的投资策略。这些相关性意味着HML、RMW、CMA三个变量是公司价值、盈利能力和投资水平三种效应的交互作用。
本文构造了25个Size-B/M投资组合、25个Size-OP投资组合、25个Size-Inv投资组合作为每个回归的被解释变量，每个投资组合将按照价值加权计算收益率。对公司规模的划分为每个地区总市值的3%、7%、13%、25%四个分割点，对账面市值比、盈利能力、投资水平的划分为每20%一个分割点。由于账面市值比、盈利能力、投资水平是相互关联的，因此上面的三组投资组合并没有分割公司价值、盈利能力、投资水平的效应，为了理清它们之间的关系，我们需要用公司规模、账面市值比、盈利能力、投资水平共同构造投资组合。由于3333的投资组合不能够较好地做到分散化，因此本文构造了24*4的投资组合，其中公司规模划分前10%和后10%，其他三个变量按照四分位数划分，由此得到三组投资组合，即32个Size-B/M-OP投资组合，32个Size-B/M-Inv投资组合，32个Size-OP-Inv投资组合。
三、全球模型的检验
本文首先检验了模型的国际版本，即模型右边的因子变量根据全球的股票数据进行构建，而左边的变量为各区域的投资组合收益率。检验结果表明，依据全球股票构造的因子变量表现较差，不能解释各区域投资组合的期望回报率。
根据本文构建的模型，如果模型的全球版本成立，那么截距项应该不显著异于0，但本文对四个地区的不同投资组合进行了20次回归，其中有16次回归的截距项在5%的显著性水平下异于0。作者猜测出现这种情况的可能原因是全球的股票市场不能被看作一个整体，或者本文提出的模型是错误，因此作者检验的焦点还是在于模型的地区版本，即模型等号左边和右边均由区域数据构造。
四、因子回报率的描述统计
表1的面板 A表明日本在1990——2015年期间股票的风险溢价(Mkt)接近于0，而其他三个地区的股票风险溢价则相对较大。1990——2015年期间公司规模溢价(SMB)在四个地区都接近于0，最大的是北美地区的0.17%。价值溢价(HML)方面，北美地区只有价值溢价不显著异于0，而日本地区则只有价值溢价不接近0，这一结果对接下来的检验非常重要。盈利能力溢价(RMW)在北美和欧洲非常显著，而在亚太地区则不显著。投资水平溢价(CMA)在北美、欧洲和亚太地区集中在0.2%——0.39%之间，标准差在1.86——2.60之间。
表1的面板 B证实了FF (2012)中的结果，对于北美、欧洲和亚太地区，价值溢价对于小公司股票来说相对更高，但对于日本则相反，价值溢价对于大公司股票更高，大公司股票比小公司股票的价值溢价高了0.11%，但标准差仅为0.51。新的证据表明，除了日本，其他地区的RMW和CMA变量对于小公司股票来说也更高。
面板 C显示了五个因子在不同地区的相关系数。市场因子相关性最高，但日本和其他几个地区的相关性相对较低。其他几个因子的相关系数相对较低。由于欧洲和北美两个地区占了样本总市值的80%，因此它们之间的关系需要额外关注。四个非市场因子中，HML在北美和欧洲地区的相关性最高，随后依次为CMA、SMB、RMW。盈利能力因子RMW在不同区域间的相关性是最低的。

五、投资组合的超额平均收益率
表2的面板 A显示了如前文所述构造的5*5投资组合收益率，显示了B/M、OP、Inv随公司规模变动所带来的利差大小。对于Size-B/M投资组合来说，在给定的Size分组内，平均收益率和账面市值比正相关。在1990——2015年期间，对于北美地区的大公司股票，账面市值比和收益率之间的相关性较弱。对于欧洲和亚太地区，大公司股票的收益率和账面市值比同样正相关。对于日本，当公司规模增加时，账面市值比带来的利差在不断增加。
值得注意的时，对于不同的地区，按Size划分的5组内每组的市值占当地总市值的比例是相同的，但是公司的平均市值规模却相差很大，例如对于超高市值的分组，欧洲的平均市值略低于北美地区，日本的仅仅是北美地区的一半，而亚太地区仅仅是北美地区的1/3。因此可以比较不同地区的收益率模式，但如果直接比较收益率的大小就是有误导性的。
对于北美、欧洲和亚太地区的Size-OP投资组合，在所有Size分位数中，平均收益都随着OP的增加而增加，而在Size更大的分位数中，利差的衰减程度要小于Size-B/M投资组合。在日本，平均收益在最高的OP分位数大于最低的分位数，但差距很小，并且盈利能力和平均收益之间的关系是微弱的。
Fama & French (2015)发现，对于美国1963——2013年的数据，5×5 Size-Inv投资组合的平均回报率在超大市值组随着Inv的增加而下降，但对于其他四组，收益率会在第四和最高的投资分位数之间迅速下降。面板 A中的Size-Inv投资组合也证明了这一模式，同时欧洲也有同样的规律。对于亚太地区，这一特征也拓展到了超大市值的一组。日本地区在收益率和投资之间没有明显的规律。
面板 B显示了244投资组合的收益率情况，尽管比55分组多了一个变量，但仅仅是加强了55分组中的结论。在北美、欧洲和亚太地区，收益率随着账面市值比和盈利能力的增加平稳上升，但对于投资水平，收益率会在最高分位数出现迅速的下降。对于日本，投资组合收益率和账面市值比有很强的相关性，而盈利能力和投资水平与收益率的相关性较弱。
在FF (2015)中，作者发现在具有最低盈利能力、最高投资水平的小公司股票投资组合不适用五因子定价模型，本文中这一点同样是一个问题。表2中的结果表明在北美地区，对于低盈利能力和高投资水平的股票，小公司股票和大公司股票的平均收益率都明显低于其他投资组合，对于欧洲和亚太地区，这两个投资组合的收益率更低，而日本则不存在这个问题。

六、因子生成检验
FF (2015)中作者发现在HML因子对其他四个因子的回归中，截距项非常接近0，表明HML因子是冗余的，可以由其他四个因子完全解释。本部分将对这一问题进行检验，看四个地区中每个因子是否是多余的。表3显示了四个地区中每个因子对其他四个因子回归的结果。

在北美、欧洲、亚太地区，Mkt因子对四个地区都不是多余的，回归的截距项都显著异于0。价值因子HML对于解释收益率的变动非常重要，回归中四个地区的截距项都是显著的，其中欧洲、亚太、日本地区的截距项为正，北美地区的截距项为负。盈利能力RMW在北美、欧洲、亚太地区是重要的，回归中的系数都是正的且非常显著，在日本，截距项的数值相对较低，但还是显著的。投资因子CMA在北美和亚太地区是重要的，但在欧洲和日本则不显著。
总的来说，四个因子在北美地区都是重要的，但是在欧洲和亚太地区，仅有Mkt、HML、RMW三个因子是重要的，亚太地区还需要CMA因子的辅助，但CMA因子在欧洲发挥的作用则较小。对于日本，HML因子是重要的，再加上CMA因子的辅助。要注意的是一个因子是否多余可能还取决于样本数据的时间区间，上述结果仅表明在这一特定时间段内某些因子是多余的。
七、资产定价检验总结
本部分将对五因子模型进行检验，对于每组5*5的投资组合，会进行25次回归，然后利用GRS统计量进行联合显著性检验，判断25个回归的截距项是否至少有1个异于0。本文共尝试了由Mkt、SMB、HML构造的三因子模型，由Mkt、SMB、HML、RMW构造的四因子模型和包含所有因子的五因子模型。检验结果表明在北美、欧洲、亚太地区，五因子模型的表现总是好于忽略RMW或CMP因子的四因子模型。

八、资产定价细节
由于我们更关心从三因子到五因子，模型的表现如何变化，因此本部分仅仅保留这两个模型，同时为了节省空间，这里仅展示北美和欧洲的结果，亚太地区的结果和欧洲的非常相似。表5到表10展示了6组不同投资组合的截距项及其t值，由于Mkt和SMB在三因子和五因子模型中的系数非常接近，因此对截距项改变的解释主要集中在HML、RMW、CMA三个因子。
（一）Size-B/M投资组合
在北美和欧洲，B/M最低的小公司股票投资组合没有通过三因子模型的检验，北美最小B/M分位数一列，最小和次小公司的股票构成的投资组合截距项分别为-0.34%和-0.45%，欧洲对应的投资组合为-0.47%和-0.15%，而在五因子模型中，这两个投资组合的截距项都非常接近0。在北美和欧洲对三因子模型造成问题的小公司和低B/M股票在回归中都拥有负的HML、RMW、CMA系数，表明这些股票对应的公司都像那些低盈利高投资的公司。在FF (2015) 中这一特征也导致五因子模型收到影响，在这里用了更短期的样本数据，这一情况有所好转。
表4中的GRS检验表明五因子模型还有其他问题，例如对于三因子模型，北美地区高B/M的小公司和大公司股票投资组合都拥有显著的截距项，五因子模型缓解了大公司股票的问题，但并没有对小公司股票带来帮助。

（二）Size-OP投资组合
北美地区的三因子模型中，随着盈利能力的上升，回归的截距项也不断上升，欧洲地区这一特征更加明显。五因子模型中，上升的截距项被新加入的盈利能力因子RMW所解释，当OP较低时，RMW的系数为负，当OP较高时，RMW的系数为正。尽管如此，GRS检验还是拒绝了原假设，主要的问题可能在于很多小公司股票投资组合具有较大的正截距项。

（三）Size-Inv投资组合
在高投资水平的投资组合中，三因子模型有非常显著的截距项，五因子模型很大程度上解决了这个问题，并且通过GRS检验证明欧洲地区五因子模型的所有截距项接近于0。在北美地区，三因子模型在低Inv的分组提供了较高的截距项，这一问题在五因子模型中仍然存在，但在其他四个Inv的分位数投资组合中，只有一个回归的截距项是显著的。
在最高的Inv五分位数中，欧洲投资组合的截距改善源于RMW和CMA的系数为负值。由于这些投资组合的HML系数也为负，本文认为这些公司的收益率表现得像高投资低盈利公司。北美地区截距项的改善也是由于负的RMW和CMA，但HML的系数却是正的。

（四）Size-B/M-OP投资组合
对于北美地区的小公司股票，三因子模型中截距项会随着OP的上升而增加，在大公司股票中也有同样的规律，但增长幅度更小。北美地区的三因子模型中，具有最低B/M和OP的小公司股票投资组合回归截距项为-0.52%且t值为-2.90，而大公司投资组合的问题则在于最低OP和最高B/M的分组，回归截距项为-0.46%且显著异于0。使用五因子模型后，这两个投资组合的截距项更接近于0，而这也是北美地区五因子模型中仅有的两个截距项显著的投资组合，除此以外，使用五因子模型之后，在三因子模型中截距项随OP上升的规律也不再存在。
在欧洲地区，具有低B/M和OP的小公司股票对三因子模型构成了更大的挑战，这一投资组合的截距项为-0.99%，t值为-6.01，同时也没有体现出截距项随OP上升而增加的规律，对于大公司股票的投资组合，在OP最低的一组截距项为负，在OP最高的一组截距项为正。和北美地区相似，欧洲地区的五因子模型也缓解了上述问题，具有低B/M和OP的小公司股票投资组合的截距项从-0.99%上升到-0.37%，其他小公司股票的截距项也更接近于0，尽管仍然有部分投资组合的截距项是显著的。

（五）Size-B/M-Inv投资组合
根据表9中的结果，对于北美和欧洲地区的大公司股票，三因子模型的问题在于高B/M和Inv的股票，对于这个投资组合，北美和欧洲地区的截距项分别为-0.62% (t=-4.13)和-0.41% (t=-2.60)，而五因子模型改善了这一问题，改善的原因可能在于回归中RMW和CMA都有负的系数且绝对值较大。
对于小公司股票投资组合，三因子模型的问题在于高的Inv和低的B/M，而欧洲地区的五因子模型较好地解决了这个问题，使得截距项更接近于0且不再显著。在北美地区，五因子模型虽然也改善了这一问题，但截距项仍然显著。

（六）Size-OP-Inv投资组合
虽然GRS检验在Size-OP-Inv投资组合中同时拒绝了三因子模型和五因子模型，但详细来看，五因子模型的表现整体要更好一点。对于北美和欧洲地区的大公司和小公司股票，在每一个Inv分位数内，三因子模型的截距项都随着OP的上升而增加，同时在所有的排序中，具有低OP和高Inv的小公司股票带来的问题是最严重的。
对于大公司的股票，五因子模型明显改善了上述问题，截距项随OP上升而增加的规律在五因子模型中也不再存在，具有低OP和高Inv的大公司股票也不再是一个问题。五因子模型虽然也改善了小公司股票的情况，但问题依然存在，截距项仍然是显著的，截距项与OP正相关的规律在北美地区不再存在，但在欧洲地区则仍然具有这一规律，除此以外，对于北美和欧洲地区的小公司股票，在较低OP和较高Inv的组别，都有部分投资组合的系数非常显著。
总的来看，五因子模型解释了大部分投资组合收益率的变动，但对于具有低盈利能力和高投资水平的小公司股票，五因子模型无法对它们做出较好的解释。

九、结论
在北美、欧洲和亚太地区，小公司股票的平均收益率随着B/M和OP的上升而增加，但这一规律对于大公司的股票并不明显。当对Inv进行排序时，三个地区的小公司股票收益率都会在最高Inv的分位数迅速下降，这一点对大公司股票不再适用，并且除北美以外，其他地区的股票收益率没有再发现其他变化规律。总得来看，五因子模型中的投资因子可能很大程度上吸收了高投资水平的小公司股票收益率变动。
全球版本的五因子模型在检验中表现较差，因此本文重点关注各地区版本的五因子模型，即因子和投资组合都来自同一地区。对于日本地区，B/M是唯一有明确关系的一个因子，而且三因子模型也表现得很好。对于北美、欧洲和亚太地区，盈利能力和投资水平则是三因子模型所没有解释到的，尽管五因子模型还是没有通过GRS检验，但却吸收了投资组合收益率在账面市值比、盈利能力和投资水平的变动规律。
因子生成检验结果表明所有的因子都对解释北美地区的股票收益率发挥作用，但是投资水平因子CMA在欧洲和日本则是多余的，因此对于这两个地区，忽略CMA因子对收益率的解释影响不大。
作者最近的研究结果表明，具有高投资和低盈利水平的小公司股票投资组合一般具有较低的收益率，且会对三因子模型和五因子模型带来挑战，本文也发现了同样的结果，而且这一问题在北美和欧洲地区更加严重。
附录
附表展示了五因子模型回归中HML、RMW、CMA的系数和t统计量。
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