估计工具变量回归时, 是否必须将所有外生变量用作工具变量？

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之前，推荐过“必须使用所有外生变量作为工具变量吗？”，但觉得里面没有说的很清楚，因此，今天在社群群友要求下重新推荐一下这个问题。一些相关的知识如下：1.2SRI还是2SPS, 内生性问题的二阶段CF法实现，2.控制函数法CF, 处理内生性的广义方法，3.2SRI还是2SPS, 内生性问题的二阶段CF法实现，4.非线性模型及离散内生变量处理利器, 应用计量经济学中的控制函数法！5.Heckman两步法是什么? 及其内生性问题?
有人提出了以下问题
正在估计一个方程：
Y = a + bX + cZ + dW
然后用Q作为W的工具变量。知道第一阶段的回归应该是
W = e + fX + gZ + hQ
（即在第一阶段中使用所有外生变量）。实际上，如果使用ivregress 命令，这个步骤都是自动完成的。但是，若只想在第一阶段使用Q而不用X和Z作为W的工具变量。有什么办法可以在Stata中做到呢？此时，可以用W对Q做回归并获得W的预测值，然后将其用于第二阶段回归。不过，也有一个问题，那就是这时获得的估计标准误并不正确。
ivregress不会让你这样做，而且，如果你相信W是一个系统的一部分，是内生的，那么就必须同时包括 X和Z 作为W的工具变量，否则会得到有偏差的b、c和d估计值。
考虑如下模型系统：
Y1 = a0 + a1Y2 + a2X1 + a3*X2 + e1（1）

  Y2 = b0 + b1*Y1 + b2*X3 + b3*X4 + e2（2）

注意：假设正在估计结构方程式（1）；如果 X1和X2 是外生的，则必须将它们作为工具变量，否则你的估计将有偏差。在一般系统中，当内生变量的工具值出现在方程中时，此类外生变量必须用作任何内生变量的工具变量，其中外生变量也出现在方程中。
考虑一下上述两个方程的简约形式：
Y1 = e0 + e1X1 + e2X2 + e3X3 + e4x4 + u1（1r）

  Y2 = f0 + f1*X1 + f2*X2 + f3*X3 + f4*x4 + u2（2r）

其中e＃和f＃是（1）和（2）方程中的a＃和b＃系数的组合，而u1和 u2是e1和e2的线性组合。
对于一个内生变量，所有外生变量都出现在他的方程中。这是联立系统的特性，因此估计效率（estimation efficiency）要求将所有外生变量都包括在内，以此作为每个内生变量的工具变量。
这是真正的问题。看式（1）：Y2的简约形式方程（2r）清楚地表明， Y2与X2相关（通过系数 f2）。如果不将X2包括在Y2的工具变量中，那么将无法考虑Y2的工具值与 X2的相关性。由于没有考虑这种相关性，因此当使用Y2的工具值估计式（1）时，将迫使系数 a3去考虑这种相关性。这种方法将导致a1和a3的估计偏差。
可以参考一下Baltagi（2011）。请参见2SLS的整个讨论，尤其是第265页上的方程11.40之后的段落。（不知道为什么在其他书中不强调此问题。）
当不包含X4就只会影响估计效率，而不会影响偏差。
但是，在一种情况下，不必包括X1和 X2作为Y2的工具变量。也就是说当系统为递归形式时 Y2确实不依赖于Y1，考虑到两个方程的扰动项之间的相关性，因此有理由相信它是弱内生性的。仍然可以在这里进行ivregress的操作，并保留X1和X2作为其工具变量。但是，值得注意的是，这里不再要求使用他们作为工具变量。然后，可以只需从第一阶段就对工具变量的预测值做回归即可。
如果使用间接最小二乘法，则必须自己对协方差矩阵进行调整。考虑如下结构方程：
y1 = y2 + x1 + e
其中，工具变量为z1，且你不认为 y2是y1的函数。
以下示例仅将 z1 用作y2的工具变量。首先，在y1，y2， x1和z1上创建一个数据集：

现在，我们执行第一阶段回归并获得对工具变量的预测值，这对于方程右边的每个内生变量都必须执行。

现在通过应用正确的均方误差来校正方差-协方差：

Reference

Baltagi, B. H. 2011.
Econometrics. New York: Springer

Source: https://www.stata.com/support/faqs/statistics/instrumental-variables-regression/

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