3维旋转矩阵推导与助记

旋转矩阵的应用范围比较广，是姿态变换，坐标变换等的基础。本篇先介绍旋转矩阵的推导过程与助记方法。

1 平面二维旋转

如下图，XY坐标系中，向量OP旋转β角度到了OP'的位置：

根据三角函数关系，可以列出向量OP与OP'的坐标表示形式：

对比上面个两个式子，将第2个式子展开：

用矩阵形式重新表示为：

这就是二维旋转的基本形式，中间的矩阵即二维旋转的旋转矩阵，坐标中的某一向量左乘该矩阵后，即得到这个向量旋转β角后的坐标。

2 三维旋转

三维旋转可借助二维旋转来理解，由于三维空间中可以任意轴旋转，为方便分析与使用，只考虑绕X、Y、Z轴的旋转。

2.1绕Z轴

参照上面的图，添加一个Z轴，则上面的二维旋转实际上就是绕Z轴的三维旋转

照搬上面的推导公式，并添加Z坐标的变换关系(实际是没有变)，然后改写成矩阵形式，红色方框即为绕Z轴的旋转矩阵。

2.2绕Y轴

绕Y轴旋转同理，这里直接改变坐标轴的符号表示，注意坐标顺序要符合右手系，我这里用颜色区分了不同的轴。最终的矩阵形式要进一步改写成XYZ的顺序。红色方框即为绕Y轴的旋转矩阵。

2.3绕X轴

参照绕Y轴的推导，可以得到绕X轴的结果。红色方框即为绕X轴的旋转矩阵。

2.4助记

对于单位矩阵，绕哪个轴旋转，哪一列不用变，然后将二维旋转矩阵替换对应的4个位置，注意，绕Y的旋转矩阵看起来与另外两个不同，它的-sinβ是在左下！

3 注意事项

3.1反向旋转

如果是反向旋转一个角度，推导过程类似：

最终得到的旋转矩阵其实是正向旋转矩阵的逆矩阵，由于这个矩阵是正交阵，所以逆矩阵就是转置矩阵。

3.2书写形式

上面的向量的坐标都是按照列的形式书写，如果是换成行的形式表示，则旋转的矩阵形式被转置了一下，同时矩阵在行向量的右边进行相乘。

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