(lintcode)第336题斐波那契数列

要求：查找斐波纳契数列中第 N 个数

所谓的斐波纳契数列是指：前2个数是 0 和 1 ，第 i 个数是第 i-1 个数和第i-2 个数的和，斐波纳契数列的前10个数字是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …
样例
给定 1，返回 0
给定 2，返回 1
给定 10，返回 34
第一次想到的方法是使用递归，但是递归的效率比较低，时间超限，报错（代码运行时间超过了限制，检查你的时间复杂度。TLE通常是由死循环造成的，思考一下你的时间复杂度是否是最优的。）在这里也放上递归的代码（时间复杂度O(2^n)）：

public class Solution {    /*     * @param n: an integer     * @return: an ineger f(n)     */    public int fibonacci(int n) {        if(n==1){            return 0;        }else if(n==2){            return 1;        }else{             return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);        }    }}

第二种方法就是把递归转化成为for循环来写，这样的话可以一定程度减少时间的复杂度，递归和for循环可以看成是两个互逆的过程。（时间复杂度O(n)）总耗时: 2655 ms

public class Solution {    /*     * @param n: an integer     * @return: an ineger f(n)     */    public int fibonacci(int n) {        if(n==1)//第一个直接返回            return 0;        else if(n==2)//第二个直接返回            return 1;        else if(n>=3){//大于等于3，            int first=0,second=1;            while(n>=3){                n--;                int temp=second;//将第二个数的值保存                second=first+second;将第一个数和第二个数的和的值赋予second变量                first=temp;//将之前的第二个数的值赋予first变量            }            return second;        }        else             return 0;    }}

当然，也可以使用数组来挨个存储每一个值。（时间复杂度O(n)）

class Solution {    public int fibonacci(int n) {        if (n <= 1) {            return 0;        }        int[] fib = new int[n];        fib[0] = 0;        fib[1] = 1;        for (int i = 2; i < n; i++) {            fib[i] = fib[i - 1] + fib[i - 2];        }        return fib[n - 1];    }}

还有一种解法，是使用矩阵来求解，时间复杂度O(logn)，斐波那契的递推公式可以表示成如下矩阵形式，KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{Bmatrix…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…

矩阵是一个由m行n列元素排成的矩形阵列。矩阵长类似下面这样子，这是一个二阶矩阵，两行两列组成，里面的a,b,c,d就是它的元素： { a b c d } \begin{Bmatrix} a & b\\ c & d \end{Bmatrix} {acbd}
像下面这样的就是列向量，只有一列： { x 1 x 2 } \begin{Bmatrix} x_1\\ x_2 \end{Bmatrix} {x1x2}设KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲A=\begin{Bmatri…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲X=\begin{Bmatri…则
KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲Y=AX= \begin{Bm…表示为二阶矩阵A与平面向量X的乘积。斐波那契(Fibonacci)数列,从第三项开始，每一项都是前两项之和。 F（n）=F（n − 1）+F(n − 2), n⩾3,把斐波那契数列中相邻的两项F(n)和F(n − 1)写成一个2×1的矩阵。 F0=0 ,F1=1.KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{Bmatrix…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ =\begin{Bmatri…那么求F(n)就等于求二阶矩阵KaTeX parse error: No such environment: equation* at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲*̲}̲ \begin{Bmatrix…的n-1次方，结果是取矩阵第一行的第一列的元素，那么这个问题就转换成了二阶矩阵的n次幂，那么我们现在要求矩阵A的N次幂，首先二阶的矩阵乘法都满足结合律，如过A,B,C是任意的二阶矩阵，那么有A(BC)=(AB)C， A 6 = A 3 ∗ A 3 / / 用了三次乘法，两次乘法计算出 A 3 ，最后一次乘法两个 A 3 相乘 A^{6}=A^{3}*A^{3}//用了三次乘法，两次乘法计算出A^{3}，最后一次乘法两个A^{3}相乘 A6=A3∗A3//用了三次乘法，两次乘法计算出A3，最后一次乘法两个A3相乘 A 6 = A ∗ A ∗ A ∗ A ∗ A ∗ A / / 五次乘法，直接六个 A 相乘 A^{6}=A*A*A*A*A*A//五次乘法，直接六个A相乘 A6=A∗A∗A∗A∗A∗A//五次乘法，直接六个A相乘还有一种方法，是转化成为2进制，比如6转化成为2进制就是110, A 6 = A 4 ∗ A 2 A^{6}=A^{4}*A^{2} A6=A4∗A2
(10进制)31 = (二进制) 11111 ,则 A 31 = A 16 ∗ A 8 ∗ A 4 ∗ A 2 ∗ A 1 A^{31}=A^{16}*A^{8}*A^{4}*A^{2}*A^{1} A31=A16∗A8∗A4∗A2∗A1
A N = A n ∗ A n 当 n 为偶数 A^{N}=A^{n}*A^{n}当n为偶数 AN=An∗An当n为偶数 A N = A n ∗ A n ∗ A 当 n 为奇数 A^{N}=A^{n}*A^{n}*A当n为奇数 AN=An∗An∗A当n为奇数
代码如下：

public class Solution {    /*     * @param n: an integer     * @return: an ineger f(n)     */     long[][]f=new long[][]{{1,1},{1,0}};//最初的数组     public int fibonacci(int n) {        if(n==1)//为1时直接返回            return 0;        else if(n==2||n==3)//为2，3的时候也直接返回            return 1;        else if(n>3){//大于3的时候，记得n-2            f=power(n-2,f);            return (int)f[0][0];//返回第一行的第一列的数        }        else             return 0;    }    public long[][] power(int n,long[][]f){        if(n==1)            return f;        if(n==2)            return fun(f,f);        if(n%2==0){            f=power(n/2,f);            return fun(f,f);        }else{            return fun(power(n/2,f),power(n/2+1,f));        }    }    public long[][] fun(long[][] f,long [][] m){//两个二阶矩阵相乘        long[][] temp = new long[2][2];         temp[0][0]=(f[0][0]*m[0][0]+f[0][1]*m[1][0]);        temp[0][1]=(f[0][0]*m[0][1]+f[0][1]*m[1][1]);        temp[1][0]=(f[1][0]*m[0][0]+f[1][1]*m[1][0]);        temp[1][1]=(f[1][0]*m[0][1]+f[1][1]*m[1][1]);        return temp;    }}

还有一种直接求值得公式法，但是有不够准确的风险。

代码如下：

复制代码//直接求值法（利用公式F(n) = [@n/sqrt(5)]快速计算第n个斐波那契数）    public static double fibonacci(int n){        double result = 0;        double temp = Math.sqrt(5.0);        result =  (1/temp)*(Math.pow((1+temp)/2,n)-Math.pow((1-temp)/2, n));        return result;    }

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