机器学习(27)【降维】之主成分分析(PCA)详解

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前言

主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA，下面我们就对PCA的原理做一个总结。

PCA基本思想

PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据(x(1),x(2),...,x(m))。希望将这m个数据的维度从n维降到n'维，希望这m个n'维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n'维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n'维的数据尽可能表示原来的数据呢？

先看看最简单的情况，也就是n=2，n'=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，u1和u2，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，u1比u2好。

为什么u1比u2好呢？可以有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。假如我们把n'从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。

基于最近重构性

基于最大可分性

PCA算法流程

从上面两节我们可以看出，求样本x(i)的n'维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵XXT的前n'个特征值对应特征向量矩阵W，然后对于每个样本x(i),做如下变换z(i)=WTx(i)，即达到降维的PCA目的。

> 算法流程

输入：n维样本集D=(x(1),x(2),...,x(m))，要降维到的维数n'.
输出：降维后的样本集D"
1) 对所有的样本进行中心化：

2）计算样本的协方差矩阵　
3）对矩阵XXT进行特征值分解
4 ) 取出最大的n'个特征值对应的特征向量(w1,w2,...,wn′), 将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。
5）对样本集中的每一个样本x(i),转化为新的样本
6）降维后的样本集D"

有时候，我们不指定降维后的n'的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在（0,1]之间。假如我们的n个特征值为λ1≥λ2≥...≥λn,则n'可以通过下式得到:

PCA实例

下面举一个简单的例子，说明PCA的过程。
假设我们的数据集有10个二维数据(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9)，需要用PCA降到1维特征。

首先我们对样本中心化，这里样本的均值为(1.81, 1.91),所有的样本减去这个均值后，即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。

现在我们开始求样本的协方差矩阵，由于我们是二维的，则协方差矩阵为：

对于我们的数据，求出协方差矩阵为：

求出特征值为（0.490833989， 1.28402771），对应的特征向量分别为：(0.735178656,0.677873399)T(−0.677873399,−0.735178656)T,由于最大的k=1个特征值为1.28402771，对于的k=1个特征向量为(−0.677873399,−0.735178656)T. 则我们的W=(−0.677873399,−0.735178656)T

我们对所有的数据集进行投影z(i)=WTx(i)，得到PCA降维后的10个一维数据集为：(-0.827970186，1.77758033， -0.992197494， -0.274210416， -1.67580142， -0.912949103， 0.0991094375， 1.14457216, 0.438046137， 1.22382056)

PCA算法总结

作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。

优点

1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。
　
2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。

3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

缺点

1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。

2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

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