数据结构与算法专题——第十题输入法跳不过的坎-伸展树

我们知道AVL树为了保持严格的平衡，所以在数据插入上会呈现过多的旋转，影响了插入和删除的性能，此时AVL的一个变种伸展树（Splay）就应运而生了，我们知道万事万物都遵循一个“八二原则“，也就是说80%的人只会用到20%的数据，比如说我们的“QQ输入法”，平常打的字也就那么多，或许还没有20%呢。

一：伸展树

1：思想

伸展树的原理就是这样的一个”八二原则”，比如我要查询树中的“节点7”，如果我们是AVL的思路，每次都查询“节点7”，那么当这棵树中的节点越来越多的情况下就会呈现下旋，所以复杂度只会递增，伸展树的想法就是在第一次查询时树里面会经过一阵痉挛把“节点7”顶成“根节点”，操作类似AVL的双旋转，比如下图:

当我们再次查询同样的”数字7“时，直接在根节点处O（1）取出，当然这算是一个最理想的情况，有时痉挛过度，会出现糟糕的”链表“，也就退化了到O(N)，所以伸展树讲究的是”摊还时间“，意思就是说在”连续的一系列操作中的平均时间“，当然可以保证是log（N）。

2：伸展方式

不知道大家可否记得，在AVL中的旋转要分4个情况，同样伸展树中的伸展需要考虑6种情况，当然不考虑镜像的话也就是3种情况，从树的伸展方向上来说有“自下而上”和“自上而下"的两种方式，考虑到代码实现简洁，我还是说下后者。

1) 自上而下的伸展

这种伸展方式会把树切成三份，L树，M树，R树，考虑的情况有：单旋转，“一字型”旋转，“之字形”旋转。

单旋转

从图中我们可以看到，要将“节点2”插入到根上，需要将接近于“节点2”的数插入到根上，也就是这里的“节点7”，首先树被分成了3份，初始情况，L和R树是“空节点”，M是整棵树，现在需要我们一步一步拆分，当我们将“节点2”试插入到“节点7”的左孩子时，发现“节点7”就是父节点，满足“单旋转”情况，然后我们将整棵树放到“R树”中的left节点上，M此时是一个逻辑上的空节点，然后我们将R树追加到M树中。L树追加到M的左子树中，最后我们将“节点2”插入到根节点上。说这么多有点拗口，伸展树比较难懂，需要大家仔细品味一下。

一字型

一字型旋转方式与我们AVL中的“单旋转”类似，首先同样我们切成了三份，当我们"预插入20时”，发现20的“父节点”是根的右孩子，而我们要插入的数字又在父节点的右边，此时满足”一字型“旋转，我们将7，10两个节点按照”右右情况”旋转，旋转后“节点10"的左孩子放入到L树的right节点，"节点10”作为中间树M，最后将20插入根节点。

之字形

之字形有点类似AVL中的“双旋转”，不过人家采取的策略是不一样的，当我们试插入“节点9”，同样发现“父节点”是根的右儿子，并且“节点9”要插入到父节点的内侧，根据规则，需要将“父节点10”作为M树中的根节点，“节点7”作为L树中的right节点，然后M拼接L和R，最后将节点9插入到根上。

3：基本操作

1) 节点定义

我们还是采用普通二叉树中的节点定义，也就没有了AVL那么烦人的高度信息。


public class BinaryNode<T>
    {
        // Constructors
        public BinaryNode(T theElement) : this(theElement, null, null) { }

        public BinaryNode(T theElement, BinaryNode<T> lt, BinaryNode<T> rt)
        {
            element = theElement;
            left = lt;
            right = rt;
        }

        public T element;

        public BinaryNode<T> left;

        public BinaryNode<T> right;
    }

2) 伸展

这里为了编写代码方便，我采用的是逻辑nullNode节点，具体伸展逻辑大家可以看上面的图。


#region 伸展
        /// <summary>
        /// 伸展
        /// </summary>
        /// <param name="Key"></param>
        /// <param name="tree"></param>
        /// <returns></returns>
        public BinaryNode<T> Splay(T Key, BinaryNode<T> tree)
        {
            BinaryNode<T> leftTreeMax, rightTreeMin;

            header.left = header.right = nullNode;

            leftTreeMax = rightTreeMin = header;

            nullNode.element = Key;

            while (true)
            {
                int compareResult = Key.CompareTo(tree.element);

                if (compareResult < 0)
                {
                    //如果成立，说明是”一字型“旋转
                    if (Key.CompareTo(tree.left.element) < 0)
                        tree = rotateWithLeftChild(tree);

                    if (tree.left == nullNode)
                        break;

                    //动态的将中间树的”当前节点“追加到 R 树中，同时备份在header中
                    rightTreeMin.left = tree;

                    rightTreeMin = tree;

                    tree = tree.left;
                }
                else if (compareResult > 0)
                {
                    //如果成立，说明是”一字型“旋转
                    if (Key.CompareTo(tree.right.element) > 0)
                        tree = rotateWithRightChild(tree);

                    if (tree.right == nullNode)
                        break;

                    //动态的将中间树的”当前节点“追加到 L 树中，同时备份在header中
                    leftTreeMax.right = tree;

                    leftTreeMax = tree;

                    tree = tree.right;
                }
                else
                {
                    break;
                }
            }

            /* 剥到最后一层，来最后一次切分 */
            //把中间树的左孩子给“左树”
            leftTreeMax.right = tree.left;

            //把中间树的右孩子给“右树”
            rightTreeMin.left = tree.right;

            /* 合并操作 */
            //将头节点的左树作为中间树的左孩子
            tree.left = header.right;

            //将头结点的右树作为中间树的右孩子
            tree.right = header.left;

            return tree;
        }
        #endregion

3) 插入

插入操作关键在于我们要找到接近于”要插入点“的节点，然后顶成“根节点”，也就是上面三分图中的最后一分。


#region 插入
        /// <summary>
        /// 插入
        /// </summary>
        /// <param name="Key"></param>
        public void Insert(T Key)
        {
            if (newNode == null)
                newNode = new BinaryNode<T>(default(T));

            newNode.element = Key;

            if (root == nullNode)
            {
                newNode.left = newNode.right = nullNode;

                root = newNode;
            }
            else
            {
                root = Splay(Key, root);

                int compareResult = Key.CompareTo(root.element);

                if (compareResult < 0)
                {
                    newNode.left = root.left;

                    newNode.right = root;

                    root.left = nullNode;

                    root = newNode;
                }
                else
                    if (compareResult > 0)
                    {
                        newNode.right = root.right;

                        newNode.left = root;

                        root.right = nullNode;

                        root = newNode;
                    }
                    else
                        return;
            }

            newNode = null;
        }
        #endregion

4) 删除

删除操作也要将节点伸展到根上，然后进行删除，逻辑很简单。


#region 删除
        /// <summary>
        /// 删除
        /// </summary>
        /// <param name="Key"></param>
        public void Remove(T Key)
        {
            BinaryNode<T> newTree;

            //将删除结点顶到根节点
            root = Splay(Key, root);

            //不等于说明没有找到
            if (root.element.CompareTo(Key) != 0)
                return;

            //如果左边为空，则直接用root的右孩子接上去
            if (root.left == nullNode)
            {
                newTree = root.right;
            }
            else
            {
                newTree = root.left;

                newTree = Splay(Key, newTree);

                newTree.right = root.right;
            }
            root = newTree;
        }
        #endregion

伸展树可以总结成一幅图：

一：伸展树

1：思想

2：伸展方式

1) 自上而下的伸展

3：基本操作

1) 节点定义

2) 伸展

3) 插入

4) 删除

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