用Python学《微积分B》（有理式与简单无理式积分套路）

前一篇介绍了“换元法”和“分部积分”两种一般的求积分的方法，这一篇主要学习对“有理式”和“简单无理式”求积分的套路。这一篇是对不定积分方法的总结，在此特地介绍一个在线积分器和symbolab，对于复杂的积分式可以用它们辅助计算。

一、知识点

1，四个分式模式
所谓的“套路”，都是通过一系列变换，把被积函数转化为“积分表”中的函数及其组合。积分表中有四个积分式对于分式有理式非常重要，甚至被总结为四种模式（pattern）。
1）一次单因式（对数模式）
$\int A a x + b d x = A a l n | a x + b | + C$
2）一次k重因式
$\int A ( a x + b ) k d x = A ( 1 - k ) a \cdot 1 ( a x + b ) k - 1 + C$
上式运用了“凑微分”。
3）二次单因式（反正切模式）
$\int B x + D p x 2 + q x + r d x = B 2 p \int 2 p x + q p x 2 + q x + r d x + (D - B q 2 p) 1 p \int d x ( x + q 2 p ) 2 + 4 p r - q 2 4 p 2 = B 2 p l n ∣ ∣ p x 2 + q x + r ∣ ∣ + 2 p D - q B p 4 p r - q 2 - - - - - - - \sqrt a r c t a n (2 p x + q 4 p r - q 2 - - - - - - - \sqrt) + C$
4）二次k重因式
$\int B x + D ( p x 2 + q x + r ) k d x = B 2 p ( 1 - k ) \cdot 1 ( p x 2 + q x + r ) k - 1 + 2 p D - q B p 4 p r - q 2 - - - - - - - \sqrt \int d x [ ( x + q 2 p ) 2 + ( 4 p r - q 2 \sqrt 2 p ) 2 ] k$
上式先“凑微分”，然后换元，再分部积分，并运用递归，可以求出原函数。其中， ∫dx(x2+a2)n ，n是大于1的自然数使用分部积分可以得到它的递归公式，如下：
$I n + 1 = 2 n - 1 2 n a 2 I n + x 2 n a 2 ( x 2 + a 2 ) n + 1$
$I 1 = 1 a a r c t a n (x a) + C$
2，分式有理式
定理：设 Pm(x)Qn(x) 是一真分式，则它可以唯一地分解为最简分式之和。
例：
$\int x + 1 x 2 - 4 x + 3 d x = \int [A x - 1 + B x - 3] d x$
通分，解系数方程，求出A和B。
分式有理式求积分的方法又称为“部分分式积分法”（Interation by Partial Fractions），它是基于“部分分式分解”（Partial Fraction decomposition）得来的一种求特定积分的方法。sympy提供了“apart()”函数用于执行“部分分式分解”操作。下面再给几个相关链接：
部分分式积分
partial fraction expand in matlab
3，三角函数有理式
对sin(x)和cos(x)及常数进行有限次的四则运算得到的表达式称为“三角函数有理式”，记作R( sin x, cos x )，其中 R - Rational
对于三角函数有理式 ∫R[sin(x),cos(x)]dx 的积分套路如下：
（根据“三角函数万能公式”）取 t=tanx2 ,则 x=2arctan(t),dx=21+t2dt,sin(x)=2t1+t2,cos(x)=1−t21+t2 ，于是可得：
$\int R [s i n (x), c o s (x)] d x = \int R [2 t 1 + t 2, 1 - t 2 1 + t 2] 2 1 + t 2 d t$
很显然，这里应用的是“反函数换元法”（第二类换元法）。
4，简单无理式
无理式积分的困难在于被积函数中带有开发运算，因此，一般的思路是先进行“有理化”。如下：
1） ∫R(x,ax+b−−−−−√n)dx,(a≠0)
取 ax+b=tn ，可得
$\int R (x, a x + b - - - - - \sqrt n) d x = \int R (t n - b a, t) n t n - 1 a d t$
2） ∫R(x,ax+bcx+d−−−−√n)dx
取 ax+bcx+d=tn ，可得
$\int R (x, a x + b c x + d - - - - - - \sqrt n) d x = \int R (t n d - b a - t n c, t) n ( a d - c b ) t n - 1 ( a - c t n ) 2 d x$
3） ∫R(x,ax2+bx+c−−−−−−−−−−√)dx,(a≠0)
先凑成“平方和”或“平方差”形式，再应用三角函数“平方公式”进行变量替换。
4，可积与求出积分
在“不定积分的概念”那一节，讲到“连续函数”甚至“满足介值定理的函数”都可积（原函数存在）。但是，“可积”不代表一定能求出它的积分表达式（用初等函数表示），例如： e−x2,sin(x)x,1ln(x),1−12sin2(x)−−−−−−−−−−−√ 。
事实上，大多数初等函数的原函数都不能表示为初等函数。这从一个侧面显示了“求导”的降维作用，它可以把非初等函数问题转换为初等函数问题来研究。

二、思考题

1，是否所有的分式有理函数在实数范围内都可以化为形如 ax−b 简单分式的和？
答：否！本课程中的“Partial Fraction decomposition”定理只是说可以将任意有理分式分解化为最简分式，而这里所说的最简分式包含了四个，而不只是一次单因式。比如，并不是所有的二次单因式都能化为一次单因式。

2，是否可以得到“分式有理函数的不定积分都可以用初等函数表示”的结论？
答：是！首先，所有的分式有理函数都可以化为一个多项式（整式）与一个真分式之和。然后，根据定理，所有的真分式又可以分解为四个模块（最简分式）的线性组合，而最简分式都可积，且积分后的原函数都是初等函数，那么这个命题成立。
注：这个问题非常有意思。有了计算机之后，人们开始从繁琐的运算中解放出来了，当然这个运算也包括积分运算。但是，对于计算机来说，判断一个函数是否可积，是比按程序计算积分更大的挑战。而从这个问题出发，人们可以先判断一个函数是否可积，可积再交给计算机去执行积分运算，不可积就不要浪费时间和计算资源了。或许，这也暗合“数据标记”吧！

三、选择题

from sympy import *
init_printing()
#Exercise 6-4-3
x = Symbol('x')
integrate(1 / (1 - x ** 2), x)

$- 1 2 log (x - 1) + 1 2 log (x + 1)$

#Exercise 6-4-4
t = Symbol('t')
integrate((t+4) / (t ** 2 + 5 * t - 6), t)

$5 7 log (t - 1) + 2 7 log (t + 6)$

#Exercise 6-4-5
x = Symbol('x')
integrate((2 * x ** 2 + 2 * x + 13) / ((x - 2) * (x ** 2 + 1) ** 2), x)

$- 4 x - 3 2 x 2 + 2 + log (x - 2) - 1 2 log (x 2 + 1) - 4 atan (x)$

#Exercise 6-4-6
x = Symbol('x')
integrate(1 / (x ** 4 + 1), x)

$- 2 \sqrt 8 log (x 2 - 2 \sqrt x + 1) + 2 \sqrt 8 log (x 2 + 2 \sqrt x + 1) + 2 \sqrt 4 atan (2 \sqrt x - 1) + 2 \sqrt 4 atan (2 \sqrt x + 1)$

对于 ∫1x4+1dx=? ，sympy已经求出了积分，但是这个结果可以写得更简单一些。其中对数表达式可以合并，反正切表达式也可以合并。关于反正切的合并如下：
根据正切函数的和差公式： tan(α±β)=tan(α)±tan(β)1∓tan(α)tan(β) ，两边取反函数，可得：
$a r c t a n (a) \pm a r c t a n (b) = α \pm β = a r c t a n [t a n ( α ) \pm t a n ( β ) 1 \mp t a n ( α ) t a n ( β )] = a r c t a n a \pm b 1 \mp a b$
所以，这个积分的结果可以简写为：
$\int 1 1 + x 4 d x = 2 \sqrt 8 l n x 2 + 2 \sqrt x + 1 x 2 - 2 \sqrt x + 1 + 2 \sqrt 4 a r c t a n x 2 - 1 2 \sqrt x + π 2 + C$
注意：反正切函数合并后，又用了反正切函数的“负数关系”和“倒数关系”。
下面再来看手动计算：
1）首先试着因式分解，很明显，不是很容易分解。那么不妨假设根据有理分式的分解定理，将它分解成4个二次k重因式的组合。
2）列方程组解出各系数。
3）分别对各个因式积分。
注：从这一题，我得到了一个意外的发现，对于像 11+x4 或 1+x4 这样的式子，直接用sympy的apart()函数，并不能对它进行分解。如果我们要做的不是求积分，而是进行“partial fraction decomposition”，不妨反过来，先求积分，再对各部分求导，这正式因式分解需要的么？

#Exercise 6-5-1
x = Symbol('x')
integrate(1 / (sin(x) + 1), x)

$- 2 tan ( x 2 ) + 1$

#Exercise 6-5-2
x = Symbol('x')
integrate(1 / (1 - cos(x)), x)

$- 1 tan ( x 2 )$

#Exercise 6-5-3
x = Symbol('x')
integrate((1+sin(x)) / (1 + cos(x)), x)

$log (tan 2 (x 2) + 1) + tan (x 2)$

#Exercise 6-5-4
x, a = symbols('x a')
b = Symbol('b', nonzero=True)
integrate(tan(x) / (a ** 2 * (cos(x)) ** 2 +  b ** 2 * (sin(x)) ** 2), x)

$\int tan ( x ) a 2 cos 2 ( x ) + b 2 sin 2 ( x ) d x$

#Exercise 6-5-4b
x, t, a = symbols('x t a')
b = Symbol('b', nonzero=True)
expr1 = 2 * t / (1 + t ** 2)
expr2 = (1 - t ** 2) / (1 + t ** 2)
expr3 = 2 / (1 + t ** 2)
expr = simplify((expr1 / expr2) / (a ** 2 * expr2 ** 2 + b ** 2 * expr1 ** 2) * expr3)
inte = integrate(expr, t)
expr, inte

$⎛ ⎝ ⎜ - 4 t ( t 2 + 1 ) ( t 2 - 1 ) ( a 2 ( t 2 - 1 ) 2 + 4 b 2 t 2 ), - 1 b 2 log (t 2 - 1) + 1 2 b 2 log (t 4 + 1 + t 2 a 2 (- 2 a 2 + 4 b 2)) ⎞ ⎠ ⎟$

inte.subs(t, tan(x / 2))

$- 1 b 2 log (tan 2 (x 2) - 1) + 1 2 b 2 log (tan 4 (x 2) + 1 + 1 a 2 (- 2 a 2 + 4 b 2) tan 2 (x 2))$

进一步化简，将半角化简掉。
根据三角函数半角公式：
$t a n (θ 2) = \pm 1 - c o s ( θ ) 1 + c o s ( θ ) - - - - - - - - - \sqrt = s i n ( θ ) 1 + c o s ( θ ) = 1 - c o s ( θ ) s i n ( θ )$
代入上式，并合并对数，再化简可得：

x, t, a, b = symbols('x t a b')
expr = log((t ** 4 + 1 - 2 * t ** 2 + 4 * b ** 2 / a ** 2 * t ** 2) / (t ** 2 -1) ** 2)
expr, simplify(expr.subs(t, sqrt((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))))

$⎛ ⎝ log ⎛ ⎝ 1 ( t 2 - 1 ) 2 (t 4 - 2 t 2 + 1 + 4 b 2 a 2 t 2) ⎞ ⎠, log (1 + b 2 a 2 tan 2 (x)) ⎞ ⎠$

#Exercise 6-5-5
x = symbols('x')
integrate(sin(2 * x) / ((cos(x)) ** 2 +  2 * sin(x)), x)

$\int sin ( 2 x ) 2 sin ( x ) + cos 2 ( x ) d x$

很明显，这个直接积分积不出来。当然，我们也可试着用上一题的方法来换元，但是，最后的结果会很复杂，也不能像上一题一样化简。那么，我们根据它的特点来手动计算吧：
$\int s i n ( 2 x ) c o s 2 ( x ) + 2 s i n ( x ) d x = \int s i n ( 2 x ) 1 - s i n 2 ( x ) + 2 s i n ( x ) d x = \int 2 s i n ( x ) d [ s i n ( x ) ] 1 - s i n 2 ( x ) + 2 s i n ( x )$
然后再应用换元法

x, t = symbols('x t')
expr = integrate(2 * t / (1 - t ** 2 + 2 * t), t)
expr.subs(t, sin(x))

$- 2 (- 2 \sqrt 4 + 1 2) log (sin (x) - 1 + 2 \sqrt) - 2 (2 \sqrt 4 + 1 2) log (sin (x) - 2 \sqrt - 1)$

#Exercise 6-5-6
x, t = symbols('x t')
expr = integrate(6 * t ** 4 / (t ** 5 + 1), t)
expr.subs(t, x ** (1 / 6))

$6 5 log (x 0.833333333333333 + 1)$

#Exercise 6-5-7
x, t = symbols('x t')
expr = integrate(t * sqrt(t + 2), t)
expr

$6 t 9 2 1 + 2 t - - - - - \sqrt 15 t 2 + 30 t + 16 t 7 2 1 + 2 t - - - - - \sqrt 15 t 2 + 30 t - 8 t 5 2 1 + 2 t - - - - - \sqrt 15 t 2 + 30 t - 32 t 3 2 1 + 2 t - - - - - \sqrt 15 t 2 + 30 t + 16 2 \sqrt t 2 15 t 2 + 30 t + 32 2 \sqrt t 15 t 2 + 30 t$

#Exercise 6-5-7b
x, t = symbols('x t')
expr = integrate((t ** 2 -2) * t * 2 * t, t)
expr, expr.subs(t, sqrt(x - 2))

$(2 t 5 5 - 4 t 3 3, 2 5 (x - 2) 5 2 - 4 3 (x - 2) 3 2)$

#Exercise 6-5-8
x = symbols('x')
expr = integrate(sqrt(x ** 2 -2 * x + 1) / (x -1), x)
expr

$x 2 - 2 x + 1 - - - - - - - - - \sqrt$

#Exercise 6-5-9
x = symbols('x')
expr = integrate(sqrt(E ** x + 1), x)
expr

$\int e x + 1 - - - - - \sqrt d x$

很明显，这个直接积分积不出来。先“有理化”换元，再积分：

#Exercise 6-5-9b
x, t = symbols('x t')
expr = integrate(2 * t ** 2 / (t ** 2 - 1), t)
expr.subs(t, sqrt(E ** x + 1))

$2 e x + 1 - - - - - \sqrt + log (e x + 1 - - - - - \sqrt - 1) - log (e x + 1 - - - - - \sqrt + 1)$

#Exercise 6-5-10
x = symbols('x')
expr = integrate(((x - 1) * (x + 1) ** 2) ** (1 / 3), x)
expr

$\int ((x - 1) (x + 1) 2) 0.333333333333333 d x$

这一题不能直接换元，需要先变换。如下：
$\int d x ( x - 1 ) ( x + 1 ) 2 - - - - - - - - - - - - \sqrt 3 = \int d x ( x + 1 ) * x - 1 x + 1 - - - \sqrt 3$

#Exercise 6-5-10b
x, t = symbols('x t')
g = ((x - 1) / (x + 1)) ** (1 / 3)
eq = Eq(g, t)
solve(eq, x)

$[- t 3 + 1.0 t 3 - 1.0]$

diff(-(t ** 3 + 1) / (t ** 3 - 1), t)

$- 3 t 2 ( - t 3 - 1 ) ( t 3 - 1 ) 2 - 3 t 2 t 3 - 1$

x, t = symbols('x t')
h = diff(-(t ** 3 + 1) / (t ** 3 - 1), t)
expr = - (t ** 3 - 1) / (2 * t) * h
inte = integrate(expr, t)
inte.subs(t, ((x - 1) / (x + 1)) ** (1 / 3))

$- log ((x - 1 x + 1) 0.333333333333333 - 1) + 1 2 log ((x - 1 x + 1) 0.333333333333333 + (x - 1 x + 1) 0.666666666666667 + 1) - 3 \sqrt atan (2 3 \sqrt 3 (x - 1 x + 1) 0.333333333333333 + 3 \sqrt 3)$

一、知识点

二、思考题

三、选择题

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