数据结构之优先队列和堆

什么是优先队列

我们都知道队列是一种先进先出、后进后出的数据结构，就如同日常生活中的排队一样，先到先得。而优先队列则是一种特殊的队列，优先队列与普通队列最大的不同点就在于出队顺序不一样。

因为优先队列的出队顺序与入队顺序无关，和优先级有关。也就是按元素的优先级决定其出队顺序，优先级高的先出队，优先级低的后出队，这也是为什么这种数据结构叫优先队列的原因。

这就好比现实生活中在银行排队办理业务，持有金卡的客户可以优先于普通卡的客户被接待，而钻石卡的客户又优先于金卡的客户，以此类推。这就是一种优先队列。

应用场景：

优先队列的应用场景非常多，比如，任务调度器、赫夫曼编码、图的最短路径、最小生成树算法等等。不仅如此，很多语言中，都提供了优先级队列的实现，比如，Java 的 PriorityQueue，C++ 的 priority_queue 等。

堆的基础表示

堆（Heap）简单来说是一种特殊的树，那么什么样的树才是堆呢？我罗列了两点要求，只要满足这两点，它就是一个堆：

堆是一个完全二叉树。完全二叉树：把元素顺序排列成树的形状
堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值

第一点，堆必须是一个完全二叉树。还记得我们之前讲的完全二叉树的定义吗？完全二叉树要求，除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。

第二点，堆中的每个节点的值必须大于等于（或者小于等于）其子树中每个节点的值。实际上，我们还可以换一种说法，堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。这两种表述是等价的。

对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“小顶堆”。

清楚了定义之后，我们来直观的看一下什么是堆：

在上图中，第 1 个和第 2 个是大顶堆，第 3 个是小顶堆，第 4 个不是堆。除此之外，从图中还可以看出来，对于同一组数据，我们可以构建多种不同形态的堆。

如何实现一个堆？

堆的实现并不局限于某一种特定的方式，可以使用链式树形结构（节点有左右指针）实现，也可以使用数组实现，因为完全二叉树的特性是一层一层按顺序排列的，完全可以紧凑地放在数组中。而且基于数组实现堆是一种比较巧妙且高效的方式，也是最常用的方式。

用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。如下图所示：

从图中我们可以看到节点的存放规律就是：数组中下标为 $i$ 的节点的左子节点，就是下标为 $2∗i$ 的节点，右子节点则是下标为 $2∗i+1$ 的节点。所以反过来，其父节点也就是下标为 $\frac{i}{2}$ 的节点。

parent(i) = i / 2left child(i) = 2 * iright child(i) = 2 * i + 1

通过这种方式，我们只要知道根节点存储的位置，这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为 1 的位置。

如果从 0 开始存储，实际上处理思路是没有任何变化的，唯一变化的就是计算子节点和父节点的下标的公式改变了：如果节点的下标是 $i$，那左子节点的下标就是 $2∗i+1$，右子节点的下标就是 $2∗i+2$，父节点的下标就是 $\frac{i-1}{2}$。如下图所示：

有了以上的认知后，接下来，我们就可以先编写一个堆的基础框架代码了：

package heap;import java.util.ArrayList;import java.util.Collections;/** * 基于数组实现的最大堆 * 堆中的元素需要具有可比较性，所以需要实现Comparable * 在此实现中是从数组的下标0开始存储元素，因为使用ArrayList作为数组的角色 * * @author 01 * @date 2021-01-19 **/public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {    /**     * 使用ArrayList的目的是无需关注动态扩缩容逻辑     */    private final ArrayList<E> data;    public MaxHeap(int capacity) {        this.data = new ArrayList<>(capacity);    }    public MaxHeap() {        this.data = new ArrayList<>();    }    /**     * 返回对中的元素个数     */    public int size() {        return data.size();    }    /**     * 判断堆是否为空     */    public boolean isEmpty() {        return data.isEmpty();    }    /**     * 根据传入的index，计算其父节点所在的下标     */    private int parent(int index) {        if (index == 0) {            throw new IllegalArgumentException("index-1 doesn't have parent.");        }        return (index - 1) / 2;    }    /**     * 根据传入的index，计算其左子节点所在的下标     */    private int leftChild(int index) {        return index * 2 + 1;    }    /**     * 根据传入的index，计算其右子节点所在的下标     */    private int rightChild(int index) {        return index * 2 + 2;    }}

向堆中添加元素和Sift Up

往堆中添加一个元素后，我们需要继续满足堆的两个特性。如果我们把新添加的元素放到数组的最后，如下图，是不是就不符合堆的特性了？

于是，我们就需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程就叫做堆化（heapify）。堆化实际上有两种，从下往上（Sift Up）和从上往下（Sift Down）。这里我先讲从下往上的堆化方法。堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。

看下面这张使用Sift Up方式的堆化过程分解图。我们可以让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。一直重复这个过程，直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系：

将这个流程翻译成具体的实现代码如下：

/** * 向堆中添加元素 e */public void add(E e) {    data.add(e);    siftUp(data.size() - 1);}/** * 从下往上调整元素的位置，直到元素到达根节点或小于父节点 */private void siftUp(int k) {    while (k > 1 && isParentLessThan(k)) {        // 交换 k 与其父节点的位置        Collections.swap(data, k, parent(k));        k = parent(k);    }}/** * 判断 k 的父节点是否小于 k */private boolean isParentLessThan(int k) {    return data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0;}

从堆中取出元素和Sift Down

从堆的定义的第二条中，任何节点的值都大于等于（或小于等于）子树节点的值，我们可以发现，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。

而从堆中取出元素其实就是取出堆中最大或最小的元素，并且取出后会删除，所以也可以理解为删除堆顶元素。堆顶也就是堆的根节点，或者说是数组下标为0或1的元素。

假设我们构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，就需要把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下（Sift Down）的堆化方法。如下图：

因为我们移除的是数组中的最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中的“空洞”，所以这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。

具体的实现代码如下：

/** * 获取堆顶元素 */public E findMax() {    if (isEmpty()) {        throw new IllegalArgumentException("Can't find max when heap is empty.");    }    return data.get(0);}/** * 从堆中取出元素，也就是取出堆顶元素 */public E extractMax() {    E ret = findMax();    // 交换根节点与最后一个节点的位置    Collections.swap(data, 0, data.size() - 1);    // 删除最后一个节点    data.remove(data.size() - 1);    siftDown(0);    return ret;}/** * 从上往下调整元素的位置，直到元素到达叶子节点或大于左右子节点 */private void siftDown(int k) {    // 左子节点大于size时就证明到底了    while (leftChild(k) < data.size()) {        int leftChildIndex = leftChild(k);        int rightChildIndex = leftChildIndex + 1;        int maxChildIndex = leftChildIndex;        // 左右子节点中最大的节点下标        if (rightChildIndex < data.size() &&                isGreaterThan(rightChildIndex, leftChildIndex)) {            maxChildIndex = rightChildIndex;        }        // 大于最大的子节点证明 k 已经大于左右子节点，无需再继续下沉了        if (data.get(k).compareTo(data.get(maxChildIndex)) >= 0) {            break;        }        // 否则，交换 k 与其最大子节点的位置，继续下沉        Collections.swap(data, k, maxChildIndex);        k = maxChildIndex;    }}/** * 判断右子节点是否大于左子节点 */private boolean isGreaterThan(int rightChildIndex, int leftChildIndex) {    return data.get(rightChildIndex).compareTo(data.get(leftChildIndex)) > 0;}

到此为止，我们就已经实现了堆的核心操作。接下来我们使用一个简单的测试用例，测试下这个堆的行为是否符合预期。测试代码如下：

/** * 测试堆的行为是否符合预期 */private static void testAddAndExtractMax() {    int n = 1000000;    // 随机往堆里添加n个元素    MaxHeap<Integer> maxHeap = new MaxHeap<>();    Random random = new Random();    for (int i = 0; i < n; i++) {        maxHeap.add(random.nextInt(Integer.MAX_VALUE));    }    // 取出堆中的所有元素，放到arr中    int[] arr = new int[n];    for (int i = 0; i < n; i++) {        arr[i] = maxHeap.extractMax();    }    // 由于堆的特性，此时arr中的元素理应是有序的    // 所以这里校验一下arr是否是有序的，如果无序则代表堆的实现有问题    for (int i = 1; i < n; i++) {        if (arr[i - 1] < arr[i]) {            throw new IllegalArgumentException("Error");        }    }    System.out.println("Test MaxHeap completed.");}public static void main(String[] args) {    testAddAndExtractMax();}

Heapify 和 Replace

堆的 Heapify 和 Replace 也是比较常见的操作，虽然使用之前所编写的代码也能实现，但并不是那么好使，例如实现 Replace 需要两次$O(logn)$的操作。所以在本小节就为这两个操作，单独编写相应的代码。

Replace

Replace：取出最大元素后，放入一个新元素
使用已有代码的实现：可以先extractMax，再add，两次$O(logn)$的操作
新的实现：可以直接将堆顶元素替换以后进行Sift Down，只需要一次$O(logn)$的操作

有了之前的代码基础，实现 Replace 就非常简单了，只需要几行代码。如下：

/** * 取出堆中的最大元素，并且替换成元素e */public E replace(E e) {    E ret = findMax();    // 替换堆顶元素    data.set(0, e);    siftDown(0);    return ret;}

Heapify

Heapify：将任意数组整理成堆的形状，也就是对一个数组进行堆化，或者说是建堆
使用已有代码的实现：遍历数组，调用add将每个元素添加到堆里。时间复杂度是$O(nlogn)$
新的实现：从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。因为叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较，所以我们直接从最后一个非叶子节点开始，依次堆化就行了。这样相当于只需要对数组中一半的元素进行Sift Down操作。时间复杂度是$O(n)$

建堆分解步骤图如下：

同样，基于之前已有的代码，Heapify 实现起来也非常的简单，我们可以选择在构造器中提供这个功能。具体的实现代码如下：

public MaxHeap(E[] arr) {    this.data = asArrayList(arr);    // 最后一个非叶子节点的下标    int lastNode = parent(data.size() - 1);    for (int i = lastNode; i >= 0; i--) {        // 从后往前依次堆化        siftDown(i);    }}/** * 将数组转换为ArrayList */private ArrayList<E> asArrayList(E[] arr) {    ArrayList<E> ret = new ArrayList<>();    Collections.addAll(ret, arr);    return ret;}

基于堆的优先队列

现在我们已经了解了优先队列和堆，并且自己动手实现了一个堆，因此，不难看得出来，堆和优先队列非常相似。一个堆其实就可以看作是一个优先队列。Java中的优先队列也是基于堆实现的，是一个小顶堆。

很多时候，它们只是概念上的区分而已。往优先队列中插入一个元素，就相当于往堆中插入一个元素；从优先队列中取出优先级最高的元素，就相当于取出堆顶元素。所以，堆和优先队列在基本行为上是等价的。

我们之前也提到了优先队列可以使用不同的方式进行实现，但使用堆这种数据结构来实现优先队列是最高效也最符合直觉的，因为堆本身就是一个优先队列。

从下图中可以看到使用不同数据结构实现优先队列的时间复杂度：

接下来，我们就实现一个基于堆的优先队列。首先，定义一个队列接口：

package queue;/** * 队列数据结构接口 * * @author 01 **/public interface Queue<E> {    /**     * 新元素入队     *     * @param e 新元素     */    void enqueue(E e);    /**     * 元素出队     *     * @return 元素     */    E dequeue();    /**     * 获取位于队首的元素     *     * @return 队首的元素     */    E getFront();    /**     * 获取队列中的元素个数     *     * @return 元素个数     */    int getSize();    /**     * 队列是否为空     *     * @return 为空返回true，否则返回false     */    boolean isEmpty();}

然后实现接口中的方法，由于我们之前已经实现了一个堆，所以这个优先队列实现起来就非常简单了：

package queue;import heap.MaxHeap;/** * 基于堆实现的优先队列 * * @author 01 * @date 2021-01-19 */public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {    private final MaxHeap<E> maxHeap;    public PriorityQueue() {        maxHeap = new MaxHeap<>();    }    @Override    public int getSize() {        return maxHeap.size();    }    @Override    public boolean isEmpty() {        return maxHeap.isEmpty();    }    @Override    public E getFront() {        return maxHeap.findMax();    }    @Override    public void enqueue(E e) {        maxHeap.add(e);    }    @Override    public E dequeue() {        return maxHeap.extractMax();    }}

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